td5.html

Pour interpréter correctement les spectres d'émission des atomes, plusieurs physiciens ont été amenés à proposer une théorie nouvelle reposant sur une notion de fonction d'onde. Nous allons voir avec Maple quelques-unes des propriétés de cette théorie qui est à la base de la Chimie moderne.

Atome d'hydrogène

En mécanique classique, l'équation du mouvement d'un électron soumis au champ électrique d'un proton supposé immobile s'écrit
où p=mv est la quantité de mouvement
Cette énergie E est une constante du mouvement. Si E est négative, les trajectoires décrites par l'électron sont des ellipses.
En mécanique quantique, un électron soumis au champ électrique du proton est décrit par l'équation de Schrödinger suivante

où est appelée la fonction d'onde. est la probabilité de présence de l'électron au point r . La normalisation de la probabilité impose que On recherche une solution en coordonnées sphériques de la forme
où sont les harmoniques sphériques, l un entier positif ou nul, et m un entier compris entre -l et +l.
On pose :

et . En effectuant le changement de variables suivant E1=E/Ei et r=r/a0, on obtient une équation pour la fonction d'onde

On s'intéresse aux solutions pour l=0 (orbitales s). Vérifier que si l'on prend E1=1/n^2 où n est un nombre entier strictement positif, on peut obtenir une solution explicite. Déterminer pour n=1 et n=2, la constante _C1 pour que la probabilité soit normée à l'unité.
Tracer les fonctions pour les valeurs de n allant de 1 à 5 et pour les valeurs de l permises correspondantes.

> eq:=diff(u(r),r$2)+(-l*(l+1)/r^2+2/r-1/n^2)*u(r);